LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI

BAB 15. LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI

A. Limit Fungsi di Suatu Titik

Limit fungsi f(x) adalah nilai f untuk x_o mendekati x baik dari kiri maupun dari kanan dengan x ¹ x_o.

Limit fungsi f di titik a dikatakan mempunyai nilai apabila nilai limit kiri fungsi f di titik a sama dengan nilai limit kanan fungsi f di titik a.

Jadi, jika dan maka

Limit fungsi di suatu titik dapat dipahami dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misalnya suatu fungsi f(x) akan ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a.

Sebagai contoh. Fungsi f(x) = x + 1, dengan daerah asal Df = {xïxÎR} akan ditentukan beberapa nilai fungsi f(x), jika x mendekati 2.

Nilai-nilai fungsi f(x) = x + 1 untuk x dekat dengan 2 dapat dibuat daftar sebagai berikut :

x	1,8	1,9	1,99	1,999	…	2	…	2,001	2,01	2,1
*f(x)*	2,8	2,9	2,99	2,999	…	3	…	3,001	3,01	3,1

Dari tabel tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri maka f(x) mendekati 3 dari kiri, selanjutnya dapat ditulis :

x + 1 = 3 (dibaca limit fungsi x + 1 untuk x mendekati 2 dari kiri adalah 3)

Dan jika x mendekati 2 dari kanan maka f(x) mendekati 3 dari kanan, selanjutnya dapat ditulis :

x + 1 = 3 (dibaca limit fungsi x + 1 untuk x mendekati 2 dari kanan adalah 3)

Karena, x + 1 = 3 = x + 1 = 3 = 3, maka :

x + 1 = 3 (dibaca limit fungsi x + 1 untuk x mendekati 2 adalah 3)

Apabila kita lukis grafiknya seperti berikut :

-1 O 2 X

Dari contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian limit fungsi secara intuitif sebagai berikut :

“Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real sehingga maka artinya untuk x mendekati a (tapi x ¹ a) nilai f(x) mendekati L”

B. Limit Fungsi di Tak Hingga

Limit fungsi f untuk mendekati tak hingga dinotasikan Lambang “¥” (tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai yang besar sekali atau nilai yang tak dapat ditentukan besarnya.

Contoh:

Tentukan nilai untuk f(x) = !

Jawab:

x	1	2	3	4	10	20	100	1000	10000	Semakin besar mendekati tak hingga
*f(x)*	1									Semakin kecil mendekati nol

Dari tabel di atas tampak bahwa apabila nilai x makin besar maka nilai f(x) makin kecil sehingga dapat ditulis : = = 0

Adapun definisi limit fungsi f untuk x mendekati tak hingga sebagai berikut:

“Misal f adalah fungsi yang terdefinisi dalam interfal (-¥, ¥) dan L suatu bilangan real. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati ¥ ditulis: = L, jika untuk setiap bilangan kecil e > 0 terdapat bilangan positif N sedemikian sehingga untuk x > N berlaku ïf(x) - Lï < e “

LATIHAN 15.1

1. Tentukan nilai limit berikut dengan menggunakan tabel maupun grafik !

b. 2x + 1

2. Tentukan nilai limit berikut !

A. Sifat-Sifat Limit Fungsi (Teorema Limit)

1. k = k (dengan a dan k suatu konstanta)

2. x = a

3. f(x) = f(a)

4. k.f(x) = k f(x)

5. [f(x) ± g(x)] = f(x) ± g(x)

6. [f(x) . g(x)] = f(x) . g(x0

7. = dengan g(x) ¹ 0

8. [f(x)]ⁿ = [f(x)]ⁿ

9. =

Contoh:

1. 5 = 5

2. x = -3

3. 3x + 1 = 3(2) + 1 = 7

4. 2(x² + 1)

= 2 x² + 1

= 2((-1)²+ 1) = 4

5. (2x + 3) + (4 – x²)

= (2x + 3) + (4 – x²)

= [2(1) + 3] + [4 – (1)²]

= 5 + 3

= 8

6. x(+ 5) = x . (+ 5)

= 3. ( + 5)

= 17

7. =

= -12

8. (x³ + 2x)² = [(x³ + 2x)]²

= [(1)³ + 2(1)]²

= 9

= 2

B. Menghitung Limit fungsi aljabar

1. Limit x ® a, dengan a suatu konstanta

a. Dengan Substitusi

Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a (a Î R) dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung yaitu mengganti nilai x dengan a dan dapat ditulis seperti pada teorema limit yaitu :

f(x) = f(a)

Contoh:

Hitung nilai limit fungsi berikut !

1) (3x – 1) 3) (x²+ 2x – 2)

2) 4)

Jawab:

1) (3x – 1) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8 3) (x²+ 2x – 2) = 1² + 2(1) - 2 = 1 + 2 – 2 = 1

2) = 4) =

Jika dengan substitusi diperoleh hasil bilangan tak terdefinisi yaitu : atau (¥ - ¥) yang disebut bentuk tak tentu maka fungsi yang diambil limitnya perlu disederhanakan lebih dahulu dengan cara memfaktorkan atau merasionalkan bentuk akar.

b. Dengan Memfaktorkan

Seperti telah disinggung di atas apabila terdapat bentuk dan jika disubstitusikan untuk x = a pada fungsi tersebut mengakibatkan (tak tentu) maka cara substitusi tidak dapat diterapkan secara langsung. Akan tetapi perlu menyederhanakan bentuk f(x) dan g(x) lebih dahulu dengan cara memfaktorkan, kemudian menghilangkan factor yang sama pada pembilang dan penyebut. Kemudian disubstitusikan kembali.

Contoh:

Tentukan nilai limit fungsi berikut !

1) 2) 3)

Jawab:

1) = =

2) = = (x – 2) = 3 – 2 = 1

3) =

c. Dengan Merasionalkan Bentuk Akar

Apabila dalam fungsi yang akan ditentukan limitnya berbentuk pecahan dan memuat bentuk akar yang sulit difaktorkan maka agar dapat disederhanakan caranya pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawan dari pembilang atau penyebit.

Contoh:

Tentukan nilai limit fungsi berikut !

1) 2)

Jawab:

1) = x

= 4 + 4

= 8

2) = x

2. Limit x ® ¥ (x Mendekati Tak Hingga)

Limit fungsi aljabar untuk x mendekati ¥ biasanya berbentuk atau [f(x) – g(x)]. Dalam penyelesaiannya digunakan dasar pemikiran = 0. Limit x mendekati tak hingga dibedakan menjadi bentuk-bentuk berikut :

a. Bentuk

Untuk menyelesaikan limit bentuk ini digunakan suatu metode dengan cara “membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi”.

1) Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x) maka :

2) Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x) maka :

= ¥

3) Jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x) maka :

= 0

Contoh:

Tentukan nilai limit-limit berikut !

1) 2) 3)

Jawab:

1) = 2) = ¥ 3) = 0

b. Bentuk [f(x) – g(x)]

untuk menyelesaikan limit bentuk ini caranya “dikalikan faktor sekawannya dulu baru kemudian membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi”.

Contoh:

Hitung nilai limit fungsi berikut !

1) [(x + 2) - ] 2) ()

Jawab:

1) [(x + 2) - ]

= [(x + 2) - ] x

= =

2) ()

= () x

C. Limit Fungsi Trigonometri

Penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan substitusi langsung atau dengan memfaktorkan. Selain itu limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan rumus.

Rumus-rumus trigonmetri yamg dimaksud :

1. = 1 5. = 9. =